Archive | janvier 2019

Produit de topologie en Coq

Jan27

Voici l’exercice qu’on va abordé dans ce billet :

Soit \((X, T )\) un espace topologique séparé. Montrer que la diagonale \(\Delta\) de \(X ×X\) est fermée dans
\(X × X\).

http://math.univ-lille1.fr/~bodin/exolic1/exolic.pdf

Aparté sur les topologies initiales

Mon livre de topologie définit les produits de topologies comme la topologie initiale des fonctions de projections \(p_i = (x_1, x_2) \in X, X \to x_i\). Ce qui nous amène à regarder ce qu’est une topologie initiale.

Pour être transparent, je vois également le terme de « topologie faible » utilisé ; c’est justement le terme utilisé par coq-topology… Je n’ai pour l’instant pas trouvé s’il y a une différence entre les 2 concepts, dans la suite je pars du principe qu’il s’agit de la même chose.

Une topologie initiale permet de construire une topologie sur un espace qui n’en dispose pas à partir de fonctions de cet espace sur un espace qui, lui, est topologique. Ainsi, si on dispose d’un espace X, et de fonctions \(f_i:X \to Y_i\) avec \(Y_i\) topologique, on définit une topologie sur X comme étant l’ensemble des intersections des \(f_i^{-1}(O_i)\) avec \(O_i\) ouvert de \(Y_i\). Ceci permet d’assurer que, par construction, ces fonctions sont continues.

Dans le cas des fonctions produits, les ouverts sont donc de la forme \(O_1 x O_2\) avec \(O_1\) un ouvert de \(Y_1\) et \(O_2\) un ouvert de \(Y_2\).

Preuve en Coq

Le module coq-topology dispose d’un module ProductTopology qui lui-même se base sur le module WeakTopology qui implémente les définitions du paragraphe précédent.

Comme souvent la principale difficulté n’est pas à trouver dans les mathématiques, il ne s’agit que de dérouler des définitions ; en revanche, ces définitions sont particulièrement peu digestes en Coq.

On va utiliser également les axiomes de séparations déjà définis dans coq-topology.

From Topology Require Import TopologicalSpaces.
From Topology Require Import InteriorsClosures.
From Topology Require Import Neighborhoods.
From Topology Require Import ProductTopology.
From Topology Require Import SeparatednessAxioms.

On dispose de quelques fonctions dans coq-topology pour faciliter l’écriture de produit de 2 topologies, qui se basent sur les fonctions built-in fst et snd de Coq. L’énoncé devient :


Theorem exo (X:TopologicalSpace):
  Hausdorff X -> closed (fun x:point_set (ProductTopology2 X X) => fst x = snd x).
Proof.

On va déplier les définitions :

  unfold Hausdorff.
  intros HypSep.
  unfold closed.

Pour plus de lisibilité, on va associer à l’ensemble \(\Delta\) une variable :

  remember (Complement (fun x : point_set (ProductTopology2 X X) => fst x = snd x)) as ExtDiagonale.

On passe ensuite par un résultat intermédiaire sur cette diagonale pour caractériser les éléments qui y appartiennent :

  assert (forall x y, not (x=y) <-> In ExtDiagonale (x,y)).
  split;intros.
  - rewrite HeqExtDiagonale. eauto with sets.
  - rewrite HeqExtDiagonale in H. eauto with sets.

Pour résoudre l’exercice, on va utiliser une base des ouverts sur le produit de topologie.

  - refine (coverable_by_open_basis_impl_open (ProductTopology2_basis X X) _ _ _). apply ProductTopology2_basis_is_basis.
    intros x0 x0inExtDiag. assert (x0 = (fst x0, snd x0)). apply surjective_pairing. rewrite H0 in x0inExtDiag. pose (tmp:=H (fst x0) (snd x0)). rewrite <- tmp in x0inExtDiag. destruct (HypSep (fst x0) (snd x0) x0inExtDiag) as [U [V ]].
    exists (fun x => In U (fst x) /\ In V (snd x)). inversion H1 as [openU [openV [x0InU [x0inV InterUVEmpty]]]].
    split.
    + replace (fun x : point_set X * point_set X => In U (fst x) /\ In V (snd x)) with [p : point_set (ProductTopology2 X X) | let (x, y) := p in In U x /\ In V y]. constructor ; repeat assumption. simpl. apply functional_extensionality. intros. Search ([_:_ | _]). rewrite characteristic_function_to_ensemble_is_identity. autounfold with *. assert (x=(fst x, snd x)). apply surjective_pairing. rewrite H2. simpl. trivial.
    + split.
      * autounfold with *. intros. pose (tmp2:=surjective_pairing x). rewrite tmp2. rewrite <- H. unfold In in H2. inversion H2. unfold not. intro. rewrite H5 in H3. assert(In (Intersection U V) (snd x)). eauto with *. rewrite InterUVEmpty in H6. Search Empty_set. apply Noone_in_empty in H6. assumption.
      * autounfold with *. eauto with *.
Qed.

Séparation en Coq

Jan19

On continue dans la série des espaces topologiques avec un exercice sur les axiomes de séparation :

Soit \((X, T )\) un espace topologique.
Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) \(\forall x, y \in X, x \neq y, \exists V \text{voisinage de}x, y \notin V .\)
(ii) \(\forall x \in X, {x} fermé.\)
(iii) \(\forall x \in X, {V ; V \text{voisinage de }x} = {x}.\)
Soit \((X, T )\) ainsi et \(A \subset X\) tel que \(\overline{A} \neq A\). Montrer que si \(x \in \overline{A}\backslash A\), tout voisinage de \(x\) coupe \(\)A en une infinité de points.

Apparté sur la séparation

Cet exercice m’a donné l’occasion de découvrir le concept de séparation en topologie que je ne connaissais que très vaguement. L’idée derrière la séparation est de caractériser le niveau d’ « indépendance » des voisinages de deux points distincts. Plus exactement, on distingue 3 niveaux de séparations notés T0, T1 et T2:

  • T0 signifie que si on prend deux points distincts, on a au moins un voisinage de l’un qui ne contient pas l’autre,
  • T1 signifie que si on prend deux points distincts, chacun a au moins un voisinage ne contenant pas l’autre,
  • Enfin T2 est le niveau au dessus : si on prend deux points distincts, on a au moins un couple de voisinage respectif qui sont disjoints.

La plupart des espaces usuels (les réels, complexes, espaces vectoriels…) sont T2. Parmi les espaces qui ne sont pas séparés il y a les topologies grossières (ie l’ensemble entier et l’ensemble vide). J’avoue que je ne connais pas la motivation derrière les niveaux T0 et T1 et je n’ai pas d’exemples d’espace vérifiant ces niveaux mais pas les suivants.

Le trio d’équivalence est semble-t-il une propriété fondamentale des axiomes de séparation puisqu’il est directement présenté comme propriété dans mon livre de topologie, qui le démontre de bas en haut. J’ai essayé d’effectuer la démonstration en Coq de haut en bas mais je me suis retrouvé bloquer en cherchant à passer de (ii) à (iii) ; ayant ensuite décidé qu’il était peut-être plus sage de suivre une voie connue, j’ai finalement opté pour la démonstration de bas en haut. Il s’avère que le passage de (iii) à (ii) est aussi compliqué et que dans les autres cas les preuves sont plus ou moins des « miroirs » de celles que j’avais faite dans ma première tentative, j’imagine aisément qu’il est malgré tout possible d’effectuer la preuve dans n’importe quel sens.

Préalable

Une propriété particulièrement utile pour cette exercice est la caractérisation de l’adhérence d’un ensemble, appelé closure_impl_meets_every_open_neighborhood dans coq-topology : un point est dans l’adhérence d’un ensemble si tous ses voisinages rencontrent cet ensemble, ou dit autrement si l’intersection de ses voisinages avec cet ensemble n’est jamais vide.

Du point de vue plus pratique, on continue à utiliser quelques astuces qui simplifient la vie sur le long terme : on définit une tactic ensemble_proof_intro pour automatiquement nous fournir les 2 inclusions de l’égalité de l’ensemble à prouver, on se sert d’inversion plutôt que de destruct, et on nomme autant que possible les hypothèses/variables pour faciliter la lecture.

A noter qu’à un moment j’ai eu besoin de définir un axiome sur la décidabilité sur l’égalité de 2 éléments d’un ensemble. Par défaut si deux éléments d’un ensemble ne sont pas égaux, Coq ne déduit pas automatiquement qu’ils sont différents ; en effet la logique constructive sur laquelle est basée Coq se passe de l’axiome du tiers exclu qui stipule qu’une propriété (comme ici l’égalité) est vraie ou sa négation est vraie. Il faut donc manuellement indiqué que dans notre cas, c’est vrai.

Trio d’équivalence

On commence par les imports de circonstances et l’écriture des propriétés :

From Topology Require Import TopologicalSpaces.
From Topology Require Import InteriorsClosures.
From Topology Require Import Neighborhoods.
Require Import Decidable.

Definition P1 (X:TopologicalSpace) :=
  forall x y:point_set X, not (x = y) -> exists N, neighborhood N x /\ not (In N y).

Definition P2 (X:TopologicalSpace) :=
  forall x:point_set X, closed (Singleton x).

Definition P3 (X:TopologicalSpace) :=
  forall x:point_set X, FamilyIntersection [V:Ensemble (point_set X) | neighborhood V x] = Singleton x.

Ltac ensemble_proof_intro:=apply Extensionality_Ensembles; unfold Same_set; split.

On aura également besoin de montrer que si un singleton est contenu dans un autre, alors leur élément est égal :

Theorem Singleton_Inclusion (T:Type): forall x y:T, Included (Singleton x) (Singleton y) -> x = y.
Proof.
  intros.
  unfold Included in H. symmetry. apply Singleton_inv. apply H. eauto with sets.
Qed.

On commence ensuite par l’implication la plus compliqué, P3 vers P2 :

Theorem P3_implies_P2 {X:TopologicalSpace}:
  P3 X -> P2 X.
Proof.
  unfold P3. unfold P2.
  
  intros P3 x0.

La stratégie pour montrer que le singleton x est fermé, est de montrer qu’il est égal à son adhérence. Cette stratégie part de l’intuition que l’écriture de l’ensemble des voisinages est proche d’une intersection en ensemble de fermé contenant un ensemble.

  assert (Included (closure (Singleton x0)) (Singleton x0)).

  unfold Included.
  intros x xInClosure.

On va se servir de la propriété sur la caractérisation des adhérences. Quand on regarde les hypothèses de cette propriété, on voit qu’il va falloir trouver un ouvert, qui contient x, et on en déduira que x0 est dans V (car l’intersection du singleton x0 et V est non vide).

pose (tmp2:=closure_impl_meets_every_open_neighborhood  _ (Singleton x0) x xInClosure).

  assert (forall V, open_neighborhood V x -> Inhabited (Intersection (Singleton x0) V)).
  intros V VNeighbor. inversion VNeighbor. unfold open_neighborhood in VNeighbor.
  apply tmp2. 
  assumption. assumption.
  assert(forall V, open_neighborhood V x -> In V x0).
  intros. pose (tmp3:=H V H0). inversion tmp3. inversion H1. inversion H2. subst. assumption.

Pour rappel, on cherche à montrer ici que x est dans le singleton x0, ie que x = x0. Pour l’instant on n’a pas encore utilisé l’hypothèse P3. Pour se simplifier la vie on peut remarquer qu’on peut se servir des voisinages ouverts plutôt que des voisinages quelconques :


  assert( forall x : point_set X,  FamilyIntersection [V : Ensemble (point_set X) | neighborhood V x] =
                              FamilyIntersection [V : Ensemble (point_set X) | open_neighborhood V x]).
  {
    intros x1. ensemble_proof_intro.
   - intros  S SinInters. inversion SinInters.
    constructor. intros. apply H1. inversion H3. constructor. apply open_neighborhood_is_neighborhood. apply H4.
  - intros y yinIntersOpen. inversion yinIntersOpen.
    constructor. intros S SInInters. inversion SInInters as [[S' [OpenS' S'InS]]].
    refine (S'InS _ _). apply H1. split. assumption.
  }

Muni de ce résultat on peut prouver l’égalité:


  assert(Included (Singleton x0) (Singleton x)).
  unfold Included. intros y yisx0. inversion yisx0.
  rewrite <- (P3 x).
  rewrite (H1 x).
  constructor.
  intros. inversion H3. subst. eauto.

et donc l’inclusion inverse :

  apply Singleton_intro.
  refine (Singleton_Inclusion _ _ _ _). assumption.

La suite est relativement directe:


  assert (closure (Singleton x0) = Singleton x0).
  ensemble_proof_intro.
  apply H. apply closure_inflationary.
  rewrite <- H0. apply closure_closed.
Qed.

L’inclusion P2 vers P1 est plus simple:

Theorem P2_implies_P1 {X:TopologicalSpace}:
  P2 X -> P1 X.
Proof.
  unfold P1, P2.
  intros P2 x y xNeqy.
  unfold closed in P2.

  exists (Complement (Singleton y)). split.
  unfold neighborhood. exists (Complement (Singleton y)). split. unfold open_neighborhood. split. apply (P2 y).
  unfold Complement. unfold not. unfold In. intros. destruct xNeqy. inversion H. trivial.
  eauto with sets.
  eauto with sets.
Qed.

Celle de P1 vers P3 n’est pas beaucoup plus compliqué, mais nécessite quand même la décidabilité dont on a préalablement parlé, pour faire une disjonction de cas :

Theorem P1_implies_P3 {X:TopologicalSpace}:
  P1 X -> P3 X.
Proof.
  unfold P1. unfold P3.
  intros P1 x0.
  ensemble_proof_intro.
  - unfold Included. intros x xInIntersNeigh.
    destruct (decT X x0 x).
    + eauto with sets.
    + inversion xInIntersNeigh. destruct (P1 x0 x H). inversion H2. pose (tmp:= H0 x2). autounfold with sets in tmp.
      assert([V : Ensemble (point_set X) | neighborhood V x0] x2).
      constructor. assumption.
      apply tmp in H5. destruct (H4 H5).
  - unfold Included. intros x xIsx0.
    inversion xIsx0.
    constructor. intros. inversion H0. inversion H1. inversion H2. unfold Included in H4. apply H4. inversion H3. assumption.
Qed.

Seconde propriété

Alors là c’est vraiment costaud à démontrer, la faute à la démonstration de l’infinité. Coq dispose de quelques résultats sur les ensembles infinis, mais malheureusement peu nombreux et que nous n’utiliserons donc pas.
En revanche il est beaucoup plus simple de travailler sur les ensembles finis, on va donc procéder par l’absurde.

En particulier une propriété des ouverts qui est vraie dans le cas des ensembles finies mais qui ne l’est plus dans les ensembles infinis est la stabilité par intersection. On va donc prouver cette propriété, par récursion sur la taille de l’ensemble :

Theorem intersection_finite (X:TopologicalSpace):
  forall F:Family (point_set X), Finite _ F /\ (forall S, In F S -> open S) -> open (FamilyIntersection  F).
Proof.
  intros F [F_Finite F_Set_Of_Opens].
  apply finite_cardinal in F_Finite.
  destruct F_Finite as [n cardFn].
  generalize dependent F.
  induction n ; intros F cardFn F_Set_Of_Opens.
  - inversion cardFn. Search FamilyIntersection. rewrite empty_family_intersection.
    Print TopologicalSpace. apply open_full.
  - inversion cardFn. pose (tmp:= IHn A H0).
    assert(FamilyIntersection (Add A x) = Intersection (FamilyIntersection A) x).
    ensemble_proof_intro; unfold Included; intros x0.
    + intros x0InIntersAx.
      inversion x0InIntersAx.
      constructor.
      * constructor. eauto with sets.
      * eauto with sets.
    + intros x0InInters. inversion x0InInters. inversion H3. constructor. unfold Add.
      intros. inversion H8.
      * eauto with sets.
      *  inversion H9. subst. eauto with sets.

    + rewrite H3. apply open_intersection2.

      * apply tmp. intros. apply F_Set_Of_Opens. Search Add.
        unfold Add in H1. rewrite <- H1. eauto with sets.
      * apply F_Set_Of_Opens. rewrite <- H1. unfold Add. eauto with sets.
Qed.

Un autre résultat qui m’a été utile est que l’égalité est conservée par passage au complément :


Theorem Complement_inv (X:Type) : forall (S1 S2: Ensemble X), Complement S1 = Complement S2 -> S1 = S2.
Proof.
  intros. ensemble_proof_intro; rewrite <- Complement_Complement with (A:=S1); rewrite <- Complement_Complement with (A:=S2); apply complement_inclusion; rewrite H; eauto with sets.
Qed.

On peut ensuite passer à la démonstration en elle-même :

Theorem part2 (X:TopologicalSpace): P2 X -> forall A: Ensemble (point_set X), forall x, In (Setminus (closure A) A) x -> forall N, neighborhood N x -> not (Finite _ (Intersection N A)).
Proof.
  intros P2 A x0 x0inclAminA.
  unfold Top.P2 in P2.
  destruct x0inclAminA as [x0InClA x0NotInA].
  intros N [O [[OpenO x0inO] OInN]].
  
  pose (tmp:=closure_impl_meets_every_open_neighborhood _ A x0 x0InClA).

  unfold not. intros NInterAFinite.
  
  remember (fun E => exists x, In (Intersection N A) x /\ E = Complement (Singleton x)) as SetOfElems.
  (**pose (tmp3:=intersection_finite _ SetOfElems).**)
  assert(Finite _ SetOfElems).
  generalize dependent SetOfElems.
  induction NInterAFinite; intros.
  - assert (SetOfElems = Empty_set). rewrite HeqSetOfElems. ensemble_proof_intro.
    + unfold Included. intros. unfold In in H. destruct H. destruct H. destruct H.
    + eauto with sets.
    + rewrite H. eauto with sets.


  - assert (SetOfElems = Add (fun E : Ensemble (point_set X) => exists x0 : point_set X, In A0 x0 /\ E = Complement (Singleton x0)) (Complement (Singleton x))).
    ensemble_proof_intro ; unfold Included; rewrite HeqSetOfElems.
    + intros. inversion H0. inversion H1.  unfold In. inversion H2 as [x2InA0|]. 
      * left. exists x2. split. assumption. assumption.
      * right. inversion H4. subst. eauto with sets.
    + intros. unfold In. inversion H0.
      * inversion H1. inversion H3. exists x3. split. left. assumption. assumption.
      * exists x. inversion H1. split. right. eauto with sets. trivial.


    + rewrite H0. constructor.
      * remember (fun E : Ensemble (point_set X) => exists x1 : point_set X, In A0 x1 /\ E = Complement (Singleton x1)) as P0.
        apply IHNInterAFinite. trivial.
      * unfold In. unfold not. intros. inversion H1. inversion H2.
        apply Complement_inv in H4. 
        apply Singleton_equal in H4. subst. destruct (H H3).
    
   
  - remember (FamilyIntersection SetOfElems) as ContraGen.
    assert (open ContraGen).
    rewrite HeqContraGen.
    apply intersection_finite. split.
    + assumption.
    + intros S SInSetOfElems. rewrite HeqSetOfElems in SInSetOfElems. unfold In in SInSetOfElems. inversion SInSetOfElems.
      inversion H0. rewrite H2. refine (P2 _).
    + pose (contra:= tmp (Intersection ContraGen O) (open_intersection2 ContraGen O H0 OpenO)).
      assert (In (Intersection ContraGen O) x0).
      rewrite HeqContraGen.
      constructor. constructor. rewrite HeqSetOfElems. intros. unfold In in H1. inversion H1. inversion H2. rewrite H4. Search Intersection. apply Intersection_decreases_r in H3. unfold In. unfold Complement. unfold not. intros. inversion H5. subst. contradiction.
      assumption.

      apply contra in H1. inversion H1. inversion H2. inversion H4. rewrite HeqContraGen in H6. rewrite HeqSetOfElems in H6. unfold In in H6. inversion H6. pose (contra2:= H9 (Complement (Singleton x))). unfold In in contra2.
      assert(exists x0 : point_set X, Intersection N A x0 /\ Complement (Singleton x) = Complement (Singleton x0)). exists x. split. constructor.
      eauto with sets. eauto with sets. trivial. apply contra2 in H11. destruct H11. constructor.
Qed.

Frontières en topologie et coq

Jan2

Alors celui là, il est costaud malgré son apparente simplicité. Commençons par l’énoncé :

Dans un espace topologique, on définit la frontière d’une partie A comme étant \(\partial A = \overline{A}\backslash \mathring{A}\).


Montrer que \(
\partial A =
\partial (A^c )\) et que \(A =
\partial A \Leftrightarrow A\) fermé d’intérieur vide.


Montrer que \(
\partial (\overline{A})\) et \(
\partial (\mathring{A})\) sont toutes deux incluses dans \(
\partial A\), et donner un exemple où ces inclusions sont strictes.


Montrer que \(
\partial (A \cup B) \subset
\partial A \cup
\partial B\), et que l’inclusion peut-être stricte ; montrer qu’il y a égalité lorsque \(\overline{A} \cup \overline{B} = ∅\) (établir \(\mathring{A \cup B} \subset \mathring{A} \cup \mathring{B}\)).


Montrer que \(\mathring{A \cup B} = \mathring{A} \cup \mathring{B}\) reste vrai lorsque \(
\partial A \cap
\partial B = ∅\) (raisonner par l’absurde)

Il s’agit d’un exercice relativement classique pour un étudiant en topologie, qui permet surtout de manipuler les définitions  d’intérieur et d’adhérence et quelques formules sur les ensembles. Oui mais voilà, la plupart des résultats « intuitifs » sur les ensembles ont besoin d’être prouvé, ce qui donne lieu à des preuves fastidieuses. Pire, il n’est pas rare de se précipiter dans de fausses pistes, en substituant une définition de trop. Bref, cet exercice m’a demandé mine te rien plusieurs jours à effectuer, et surtout à passer par la case papier + crayon alors que je m’en étais passé jusque là. Il est néanmoins très formateur puisqu’il invite à chercher des moyens d’abréger l’écriture de preuve, à découper quelques résultats intermédiaires.

Quelques préalables

On évacue déjà la définition d’une frontière :

Definition frontier (X:TopologicalSpace) (A:Ensemble (point_set X)) :=
  Setminus (closure A) (interior A).

La taille de l’exercice est un bon prétexte pour s’autoriser à essayer les possibilités d’automation que propose Coq. On commence modeste avec une tactique personnalisée « ensemble_proof_intro » qui n’est qu’une espèce de macro sur un enchainement qu’on trouve souvent lorsqu’on travaille avec des ensembles : la réécriture en double inclusion et la génération des 2 objectifs associés.

Ltac ensemble_proof_intro:=
  apply Extensionality_Ensembles; unfold Same_set; split.

Premier point

Muni de ce petit raccourci, le premier résultat est assez direct à prouver :

Theorem frontier_comp (X:TopologicalSpace) (A:Ensemble (point_set X)):
  frontier X A = frontier X (Complement A).
Proof.
  unfold frontier. apply Extensionality_Ensembles. unfold Same_set. split; unfold Included; unfold Setminus in *; rewrite interior_complement; rewrite closure_complement; unfold In in * ;intros; destruct H.
  - split ; unfold Complement.
    + apply H0.
    + unfold not. intros. destruct (H1 H).
  - unfold In.  split. Search (Complement). Print Complement. pose (tmp:= (Complement_Complement _ (closure A))). unfold Complement in tmp. rewrite <- tmp. unfold In. unfold Complement in H0. apply H0. apply H.
Qed.

En revanche pour l’équivalence j’ai eu beaucoup plus de mal. La tentation est grande de remplacer A par sa définition en terme de frontière partout dès le début mais est contre-productive : une façon de prouver est de montrer que si on est dans l’intérieur de A on est aussi dans le complémentaire de l’intérieur de A.

Un autre écueil, certes moins bloquant, est d’unfolder les Included ce qui va rajouter pas mal de « bruits » dans les hypothèses ; une hypothèse de type Included S (interior A) s’est retrouvée « diluée » lors de mes premières tentatives et m’a obligé à la recréer via assert.

La définition de Setminus est toutefois assez peu pratique à utiliser, on va donc utiliser une écriture intermédiaire à base d’intersection et de complémentaire. Une occasion également d’utiliser la tactic eauto (pour une raison que j’ignore, elle fonctionne beaucoup mieux que la tactique auto).

D’après la documentation Coq, cette tactique va essayer d’appliquer la tactique apply (et non des rewrite !) avec des théorèmes groupées dans une base de donnée qui peut être étendue. En pratique, cette tactique marche bien si on a des hypothèses de type « In S x » dans le contexte et peu de Complement.

Theorem setminus_as_intersection (X:Type):
  forall A B:Ensemble X, Setminus A B = Intersection A (Complement B).
Proof.
  intros A B.
  ensemble_proof_intro;  unfold Setminus; unfold Included; unfold Complement; unfold In; intros; destruct H.
  - constructor ; eauto with sets.
  - split; eauto with sets.
Qed.

Quelques mini résultats sur les ensembles qui simplifient la démonstration de la seconde partie du premier point. Bien entendu je n’ai pas planifié à l’avance, j’ai extrait ces résultats quand le besoin s’en ait fait ressentir.

Theorem include_intersection (T:Type): forall (S1 S2 S3:Ensemble T), Included S3 (Intersection S1 S2) <-> Included S3 S1 /\ Included S3 S2.
Proof.
  intros. split.
  - intros. split ; unfold Included in *; intros; pose (tmp:= H x H0); destruct tmp.
    + apply H1.
    + apply H2.
  -  intros.  destruct H. unfold Included in *. intros. constructor. apply H. apply H1. apply H0. apply H1.
Qed.

Theorem Empty_set_intersection (T:Type): forall A: Ensemble T, Intersection A (Complement A) = Empty_set.
Proof.
  intros. ensemble_proof_intro.
  - unfold Included. unfold Complement. intros. destruct H. destruct (H0 H).
  - apply Included_Empty.
Qed.

Theorem Intersection_Complement_Empty_set (T:Type): forall S:Ensemble T,
    Intersection S (Complement Empty_set) = S.
Proof.
  intros. ensemble_proof_intro ;autounfold with sets; intros.
  - destruct H. eauto.
  - constructor.
    * eauto.
    * unfold Complement. unfold In. repeat autounfold in *. intros. destruct H0.
Qed.

Afin de me faciliter la vie j’ai également créé une base de donnée de réécriture ne contenant que le théorème remplaçant Setminus par une intersection. L’intérêt n’est pas de rendre la preuve automatique (autant écrire rewrite setminus_as_intersection directement) mais permet surtout d’effectuer plusieurs réécriture en une seule fois (ce qu’on aurait pu faire avec repeat).

Hint Rewrite -> setminus_as_intersection : sets_helper.

Sur ce voici comment prouver la seconde partie du résultat :

Theorem frontier_equiv (X:TopologicalSpace) (A:Ensemble (point_set X)):
  A = frontier X A <-> closed A /\ (interior A = Empty_set).
Proof.
  autounfold in *. autorewrite with sets_helper. split.
  - intro HypFrontierEgalite. split.
    + rewrite HypFrontierEgalite. apply closed_intersection2; try (rewrite <- closure_complement); apply closure_closed.
    + ensemble_proof_intro.
      * unfold Included. intros x xInInteriorA. destruct xInInteriorA as [S x0 HypS x0InS]. destruct HypS. destruct H as [openS SInA].
         assert (Included S (interior A)).
         unfold Included. intros. unfold interior. eapply family_union_intro with (S:=S). split. split. apply openS. apply SInA. apply H.

         assert (Included S (Complement (interior A))).
         rewrite HypFrontierEgalite in SInA. rewrite include_intersection in SInA. destruct SInA. apply H1.

         assert (Included S (Intersection (interior A) (Complement (interior A)))).
         unfold Included. intros. constructor. apply (H x H1). apply (H0 x H1).

         rewrite Empty_set_intersection in H1. destruct (H1 x0 x0InS).
         * apply Included_Empty.
  - intros [HypClosed HypInteriorEmpty]. rewrite HypInteriorEmpty.
    autorewrite with sets_helper.
    ensemble_proof_intro.
    + apply closure_inflationary.
    + rewrite closure_fixes_closed.  eauto with sets. assumption.
Qed.

Second point

Les inclusions des frontières des intérieurs et des adhérences ne sont pas très compliquées à démontrer, il s’agit surtout d’utiliser les théorèmes de croissance et d’inflation/déflation de ces objets mathématiques :

Theorem incl_frontier (X:TopologicalSpace) (A:Ensemble (point_set X)):
  Included (frontier X (interior A)) (frontier X A).
Proof.
  autounfold. autorewrite with sets_helper.
  unfold Included. 
  intros _ [x xInClosureInteriorA xInComplementClosureInteriorA].
  autounfold with sets.
  constructor.
  - refine (closure_increasing _ _ _ x xInClosureInteriorA).
    apply interior_deflationary.
  - refine (complement_inclusion  _ _ _ x xInComplementClosureInteriorA).
    rewrite <- interior_fixes_open with (S:=interior A) at 1.
    eauto with sets.
    apply interior_open.
Qed.

Theorem incl_frontier2 (X:TopologicalSpace) (A:Ensemble (point_set X)):
  Included (frontier X (closure A)) (frontier X A).
Proof.
  autounfold. autorewrite with sets_helper. autounfold with sets.
  rewrite closure_fixes_closed. intros _ [x xInClosureA xInComplementInteriorClosureA]. constructor.
  + apply xInClosureA.
  + refine (complement_inclusion _ _ _ x xInComplementInteriorClosureA). refine (interior_increasing _ _ _).
    apply closure_inflationary.
  + apply closure_closed.
Qed.

L’inclusion de la frontière de l’union dans l’union des frontières est également assez directe (surtout si on s’autorise des eauto) :

Theorem front_union (X:TopologicalSpace): forall A B, Included (frontier X (Union A B)) (Union (frontier X A) (frontier X B)).
Proof.  
  intros. autounfold. autorewrite with sets_helper.
  rewrite closure_union.

  unfold Included.
  intros _ [x xInUClAClB xInComplementIntUAB].
  destruct xInUClAClB as [x0  xInClosureA | x0 xInClosureB].
  - left. constructor.
    * apply xInClosureA.
    * refine (complement_inclusion _ _ _ x0 xInComplementIntUAB).
      apply interior_increasing. eauto with sets.
  - right. constructor.
    * apply xInClosureB.
    * refine (complement_inclusion _ _ _ x0 xInComplementIntUAB).
      apply interior_increasing. eauto with sets.
Qed.

En revanche les choses se corsent pour démontrer l’inclusion inverse dans le cas de la disjonction des adhérences.